历法
历法是根据天象(主要是日月)规律，计算时间(即年月日长度)，以判断季节变化的法则。
历法的中心问题：年和月
制定历法所凭借的依据不外乎太阳和月亮的运动规律。日是最容易观测的确定一个时间间隔，凡经历过一个日升月落即为一日。这似乎是确定无疑的，但要为一日确定一个起点，却又并不容易。古人逐渐发现可以通过直立杆的投影来解决这一问题，将一天之内投影最短的时刻定为正午，这样两个正午之间的时刻就是一日。
连续观测正午时刻直立杆的投影长度，就能够发现它是周期循环，这一循环的发现导致“年”的产生。此外还导致最初两个节气的产生：人们将投影长度最短的那一天叫做一年的夏至，最长的那一天叫做一年的冬至。
对投影的观测实际是间接观测太阳，与之相比，月相的观测更加简单直接。月亮的盈亏也是一种周期循环，这导致“月”的产生。
现在我们知道，太阳直射点的变化周期，即一个回归年为365.2421897日，月亮绕地球运行的周期，即朔望月，大约29.530588日。二者都不是整数，且不能整除，使得一个回归年不能平摊成整数个朔望月。这导致太阴历法和太阳历法都有一定的缺陷。
太阳历和太阴历的缺陷
就太阴历而言，它以月相周期定月，12个朔望月为一年，这样一年约354或355日，这样每年会短缺11日左右。只要16个阴历年左右，就会差距到180多天，即半年左右，就会发生6月下雪、腊月天旱、冬夏倒置的毛病，对农业生产没有指导意义。太阴历的这种弊端之由来在于完全忽视了回归年，而回归年又是四季的依据。在文明开始之初，因为月亮便于观测，太阴历曾被广泛采用，但随着使用过程中的问题暴漏，逐渐被放弃。
就太阳历而言，它以回归周期定年，不依据月相，分一年为12个月，有大小月之分，这个“月”和朔望月完全无关。太阳历比太阴历问题少，它符合四季规律，但是月相的变化与月完全不能合拍。此外对于古人而言，回归年并不是整数日，这意味着随着年的累计，太阴历上的问题也会到来，只不过速度比较慢而已。
古埃及因为尼罗河泛滥的原因，非常重视天文学和历法的制定。他们在7千年前，已经把回归年定为365天。然而这个时间与真实的回归年相差0.24天，这意味着每100个回归年之后，历法上便少计24天，大约700多年后，就会出现与太阴历相同的冬夏颠倒的情况。这一情形需要再过700多年才能纠正。循环周期长达1461年。
连分数与闰年
连分数的意义在于把实数(如5.0989)变成纯粹的数学形式。与小数表示形式相比，连分数可以进行截断逼近。例如
把回归年数写成连分数形式
这里是前三次逼近结果，由此我们可以知道如何通过置闰的方式解决回归年周期问题。回归年取近似值$\frac{1}{4}$ 意味着每 4 年太阳历会比回归年少 1 天，因此要每4年置闰一天。这是第一步的近似。更精确的近似是$\frac{7}{29}$ ，即每 29 年太阳历会比回归年少 7 天，因此经过 29 个太阳历年后需要外加上 7 天之后才能开始下一回归年。对于第三个分数，就是每 33 年后需要加 8 天，也等于 99 年加 24 天。
如果取第一级截断近似，就是每 4 年一个闰年，闰年里将 2 月变为 29 日来增加一天。这个数值略大于回归年，会产生每年 0.008 天的差距，这样100年近似于1天，大约2万2千年之后进入冬夏颠倒的混乱期。这个误差人们还是不能忍受，于是要每过一百年减去 1 天来进行补偿，即百年不设闰。这样每年的差距实际只有 0.0002 天的差距，混乱周期扩大到百万年级别，可以认为是非常精确了。
这里还有最后一个问题：近似是 99 年加 24 天，实际采用百年不设闰，二者是有差别的。每隔 400 年，添加了天数为 24 4 天，这样差距为 0.002 天，仍然很大。所以设置*每 400 年置闰，差距变为 0.00031 天，接近 $\frac{8}{33}$ 的效果。
农历闰月
农历是一种阴阳历，年采用回归年，月采用朔望月，因此需要安排闰月来调整。公历则无此需要，因此公历的月不会与月相变化相吻合。
在一个回归年年，每年的月数是 12.36826, 写成连分数为
这里 $\frac{7}{19} = 0.36842$ 已经非常接近，每年会产生 0.00016 个月的差距。此即 19年7闰。
历史上的历法
公元前45年罗马皇帝儒略·凯撒在埃及天文学家协助下创立的儒略历，设置四年一闰。从前面的描述我们知道儒略历并不非常精确，4个回归年的零数积累在一起，为23时15分4秒，还不足一日，尚差44分56秒。由于累积误差随着时间越来越大，根据前面的推算，到 1582年改历那天，儒略历在1600年里产生大约 10 天的误差。
1582年罗马教皇格里高利十三世制订格里高利历，也叫公历。“四年一闰”每400年就将相差三日。为此，每400年必须少闰三次。设置97个闰年。公历亦称阳历，与中国传统农历(阴阳历)不同。
改历前后的历史事件和文件有造成混乱的可能。
中国历史上一共产生过102部历法，如夏历、商历、周历、西汉太初历、隋唐大衍历和皇极历等。汉代之前的历法就采用阴阳历，即“古六历”（黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁）中的《颛顼历》，以365又1/4日为一回归年，以29又499/940日为一朔望月， 19年中置7个闰月。由于这种古历计算不够精密，常出现月初朔日，但实际天空中却有圆满的月光；月中望日，夜晚却并没有月亮。为了改变这种不对照的现象， 司马迁主持制订《太初历》。
汉朝初年沿用秦朝的历法颛顼历，以农历的十月为一年之始，因历法与天象运行正朔失合，司马迁在公元前104年（汉武帝元封七年）上书，“言历纪坏废，宜改正朔”。汉武帝“乃诏迁用邓平所造八十一分律历，罢尤疏远者十七家”。并将元封七年改为太初元年。
《太初历》测算出一朔望月等于29又81分之43日，故又称为“81分律历”。以冬至所在之月为11月，改秦历以10月为岁首的错误，以正月为岁首，12月底为岁末，并首次将24节气订入该历法，与春种、秋收、夏忙、冬闲的农业节奏合拍，春生夏长，秋收冬藏，四季顺昌。落下闳在预见《太初历》不足之处曾指出：“日后八百岁，此历差一日，当有圣人定之。”（实际上仅一百余年即误差一日）。落下闳计算《太初历》即采用前述“连分数”的数学原理。
正朔
正朔是历法定年定月之基础。正者，岁之始也，朔者，月之始也。一年的第一个月称作正月，一月的第一日称作朔日。上古之时，计算历法与授时被认为是与上天沟通的重要形式，只有部落领袖和统治者才有权进行。甚至于直到清代，私习天文都被认为是有谋反之意。改年号与颁历法仍然是皇帝体现权力的重要手段。旧时历书称为皇历，盖因历书必由皇帝所颁。
因为正朔是天子权力象征，所以在王朝更迭之际，奉何正朔也同时表明了政治取向。例如，孔子在《春秋》中，每年之初必称“某年春王正月”，《公羊传》：“春者何？岁之始也。王者孰谓？谓文王也。曷为先言王而后言正月？王正月也。何言乎王正月？大一统也。”也就是说，鲁尊周文王所定之正朔，以示鲁忠于周。而因鲁桓公弑君而立，桓公三年至八年，及十一年至十七年，《春秋》只称“某年春正月”，曰桓无王也。
秦历十月开始一年, 自汉武帝正式使用年号，颁布太初历，改用夏正以后，后世两千多年的帝王一般只改年号而不改正朔，只有武则天，太平天国等改正朔。很多文献都称，今日所用之华夏历法就是夏历，但现行华夏历法已有演变，事实上今日之历法只是沿用了夏正，而没有用夏朔。夏以天明为朔，商以鸡鸣为朔，周以夜半为朔，体现了计时的进步；
节气
中国古代利用土圭实测日晷，将每年日影最长定为“日至”（又称日长至，即太极图中四象的太阴、长至、冬至），日影最短为“日短至”（又称短至、夏至）。在春秋两季各有一日的昼夜时间长短相等，便定为“春分”和“秋分”，人类各民族多有此四。在商朝时只有四个节气（四象，即四季），到了周朝时发展到了八个（八卦），到秦汉年间，二十四节气已完全确立。公元前104年，由邓平等制定的《太初历》，正式将二十四节气订于历法，明确了二十四节气的天文位置。
二十四节气每一个分别相应于太阳在黄道上每运动15°所到达之位置。二十四节气又分为12个节气和12个中气，一一相间。二十四节气反映了太阳周年视运动，所以其西历日期近乎固定，上半年的节气在6日，中气在21日，下半年的节气在8日，中气在23日，前后不差1～2日。二十四节气的命名反应了季节和气候的变化。立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至，又称八位，是区分公转运动对于地球影响的八个关键节点；
1 | 春雨惊春清谷天； |
